Materi matematika kelas X

Halo semua,pada postingan sebelumnya menjelaskan tentang eksponen dan logaritma.nah kali ini saya akan menjelaskan persamaan dan pertidaksamaan linier kelas X.silahkan di simak.

A. Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel adalah sistem persamaan linier yang mempunyai bentuk

$\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y &=c_{1}\\ a_{2}x&+ &b_{2}y &=c_{2} \end{matrix}\right.$

dengan $a_{1},\: b_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: dan\: c_{1},\: c_{2}$ adalah bilangan real

B. Hubungan Dua Buah Garis Lurus(Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)

Jika kedua garis berpotongan, maka sistem persamaan linier memiliki sebuah penyelesaian. Hal ini terjadi jika $\frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
Jika kedua garis sejajar, maka sistem persamaan linier tidak memiliki penyelesaian. Hal ini jika $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
Jika kedua garis itu berimpit, maka memiliki tak terhingga penyelesaian. ini terjadi saat $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}= \frac{c_{1}}{c_{2}}$

Contoh ilustrasi persamaan linier dua variabel

dan

[Sumber]

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$

1.Penyelesaian sistem persamaan $\left\{\begin{matrix} 3x &- & 4y &=14 \\ x& - & 2y &=6 \end{matrix}\right.$ adalah ….

Jawab:

perhatikan untuk $\left\{\begin{matrix} 3x &- & 4y &=14\: ..........1) \\ x& - & 2y &=6 \: ............2) \end{matrix}\right.$

Untuk persamaan 2) x= 6 + 2y kita substitusikan ke persamaan 1). Selanjutnya kita mendapatkan $3(6+2y)-4y=14\: \Rightarrow 18+6y-4y=14\: \Rightarrow 2y=-4\: \Rightarrow y=-2\:\: \: .....................3)$

Kemudian persamaan 3) disubstitusikan ke persamaan 2), maka akan didapatkan x = 2.

Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $x=2\: dan\: y=-2$

2. Jika diketahui x dan y memenuhi sistem persamaan $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$ dan $\frac{1}{x}-\frac{2}{y}=8$ , maka nilai $\frac{1}{x+y}$ = ….

Jawab:

Dengan cara kurang lebih sama dengan pembahasan soal pada contoh no 1) di atas tetapi dengan gabungan eliminasi dan substitusi. Misalkan

$\begin{matrix} \frac{2}{x} &+ &\frac{1}{y} &=1&|\times 2|&\frac{4}{x}&+&\frac{2}{y}&=2 \\ \frac{1}{x}&- & \frac{2}{y} &=8&|\times 1|&\frac{1}{x}&-&\frac{2}{y}&=8\\ \end{matrix}$

—————————————————— +

$\frac{5}{x}=10\: \Rightarrow x=\frac{1}{2}\: \: dan \: \: diperoleh\: \: y=-\frac{1}{3}$

Jadi, nilai $\frac{1}{x+y}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6$

3. Enam tahun yang lalu, umur Budi 4 tahun lebih muda dari seperenam umur ayahnya. Jika umur Budi sekarang 3 tahun lebih tua dari seperdelapan umur ayahnya, maka jumlah umur mereka berdua sekarang adalah ….

Jawab:

Misalkan umur Budi = x , dan umur ayahnya = y , maka persoalan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut

$(x-6)+4=\frac{1}{6}(y-6)\: \Rightarrow x=\frac{1}{6}y+1\: .........(1)$
$x-3=\frac{1}{8}y\: \Rightarrow x=\frac{1}{8}y+3\: ............(2)$

Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh $\frac{1}{6}y+1=\frac{1}{8}y+3\: \Rightarrow y=48\: \: tahun,\: dan\: ahirnya\:\: diperoleh\:\: x= 9\:\: tahun$

Jadi, jumlah umur mereka adalah 48 + 9 = 57 tahun.

C. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Sistem persamaan ini memiliki bentuk

$\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y &+&c_{1}z&=d_{1} \\ a_{2}x&+ & b_{2}y &+&c_{2}z&=d_{2} \\ a_{3}x &+ &b_{3}y &+&c_{3}z&=d_{3} \end{matrix}\right.$

Untuk ketentuan yang lain kurang lebih sama seperti sistem persamaan linier dua variabel

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$

1. Himpunan penyelesaian sistem persaman

$\left\{\begin{matrix} x & + &y & =5 \\ y &+ &z &=6 \\ 2x&+ &y &+ &z&=4 \end{matrix}\right.$

adalah {(x,y,z)}. Nilai untuk x + y + z = ….

Jawab:

Perhatikan bahwa

$\left\{\begin{matrix} x & + &y & =5&..........(1)\\ y &+ &z &=6&...........(2)\\ 2x&+&y&+&z&=4&..........(3) \end{matrix}\right.$

Persamaan 2) disubsitusi ke persamaan 3)

$2x+6=4\: \Rightarrow x=-1\: \: .........(4)$ . Kemudian persamaan 2) dan 4) dijumlahkan. Selanjutnya kita mendapatkan $x+y+z=-1+6=5$ .

2. (OMITS SMP/MTs 2012) Ada 3 bilangan bulat. Jika masing-masing bilangan itu dipasangkan maka akan didapatkan jumlah 2006, 2010, dan 2012. Jumlah bilangan terbesar yang dimaksud adalah ….

Jawab:

Misalkan bilangan yang dimaksud adalah a, b, dan c, maka

$\left\{\begin{matrix} a & + & b &=2006 \\ b & + & c &=2010 \\ c & + & a &=2012 \end{matrix}\right.$

Selanjutnya jumlahkan ketiga persamaan tersebut di atas. Sehingga kita mendapatkan

$2(a+b+c)=6028\: \Rightarrow \: a+b+c=3014$

Maka bilangan terbesarnya adalah saat $(a+b+c)-(a+b)=3013-2006=1008=c$

(yakni persamaan ke 4) dikurangi persamaan pertama)

$\LARGE\fbox{Soal Latihan}$

Diketahui sistem persamaan $\left\{\begin{matrix} 2x & + & 3y &=13 \\ 3x & + & 4y &=19 \end{matrix}\right.$ . Nilai $x.y$ adalah ….
Penyelesaian sistem persamaan $\left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{2} &+ & \frac{3y+9}{3} &=9 \\ \frac{2x+3y}{4}&+ &6 &=9 \end{matrix}\right.$ adalah ….
Di sebuah toko, Aziz membeli 3 buku dan 2 buah pensil seharga Rp5.200,00. Sedangkan Fatimah membeli 2 buku dan 3 pensil seharga Rp4.800,00. Harga 1 buku adalah ….
Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45, maka kedua bilangan tersebut adalah ….
Sebuah bilangan terdiri dari dua angka yang besarnya 7 kali jumlah angka-angkanya. Jika kedua angka dipertukarkan, akan diperoleh bilangan baru, 18 lebih dari jumlah angka-angkanya. Bilangan yang dimaksud adalah ….
Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan, keduanya dikurangi 5, akan diperoleh pecahan sama dengan $\frac{1}{2}$ . Bila pembilang dan penyebut keduanya ditambah dengan 1, pecahan itu sama dengan $\frac{2}{3}$ . Pecahan yang dimaksud adalah ….
Para bola $y=ax^{2}+bx+c$ melalui titik (1,1), (-1,-5), dan (3,23). Tentukanlah nilai a, b, dan c
Jika diketahui sistem persamaan linier: $\left\{\begin{matrix} a &+ &3b &+ &2c&=6160 \\ 6a& + &2b &=7680 \\ 6c&+ & 3d &=8820 \end{matrix}\right.$

Sumber Referensi

Enung, Untung. 2009. Mandiri Matematika SMAjilid 1 Untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga.
Sukino. 2004. Persiapan Menghadapi Olimpiade Matematika Tingkat SMP Seri B. Jakarta: BSD MIPA.

D. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Perhatikan ilustrasi soal berikut

Misalkan suatu ketika seseorang sebut saja pak Ahmad berencana membangun 2 tipe rumah, yaitu, tipe A dan tipe B di atas sebidang tanah seluas 10.000 $m^{2}$ . Setelah ditanyakan kepada seorang arsitek ternyata untuk membangun rumah tipe A dibutuhkan tanah seluas 100 $m^{2}$ dan untuk rumah tipe B dibutuhkan tanah seluas 75 $m^{2}$ . Karena keterbatasan dana, akhirnya yang akan dibangun paling banyak 125 unit rumah saja, maka

1) berapa banyak rumah tipe A dan tipe B yang harus dibangun sesuai dengan kondisi luas tanah yang tersedia dan jumlah rumah yang akan dibangun oleh pak Ahmad

2) gambarkanlah daerah penyelesaian pada koordinat kartesius berdasarkan batasan-batasan yang telah diberikan

Jawab:

Dimisalkan: x : banyak rumah tipe A yang segera dibangun

y : banyak rumah tipe B yang segera dibangun

1) Banyaknya rumah tipe A dan tipe B yang akan dibangun

Dari soal diketahui luas bidang tanahnya adalah 10.000 $m^{2}$ , maka model matematikanya adalah $100x+75y\leq 10.000$ . Selanjutnya kita sederhanakan menjadi $4x+3y=400$ …………………………….(1)
Dan jumlah rumah yang segera dibangun, dimodelkan sebagai $x+y\leq 125$ …………………………………..(2)
Sebagai tambahannya, baik x dan y minimal adalah nol (kondisi dimana apabila kedua tipe rumah tersebut tidak jadi dibangun)

Sehingga dengan eliminasi dan substitusi, maka

$\left\{\begin{matrix} 4x & + &3y & = & 400 \\ x & + & y & = & 125 \end{matrix}\right.$

Dengan mengalikan x + y = 125 dengan 3 kemudian dieliminasikan ke 4x + 3y = 400 diperoleh

$x=25$

untuk $x=25$ , maka $y=125-x=125-25=100$

Hal ini menunjukkan bahwa pak Ahmad dapat membangun rumah tipe A sebanyak 25 unit dan rumah tipe B sebanyak 100 unit.

2) Untuk gambar grafiknya pada bidang kartesius, kita perlu menentukan beberapa titik potong

untuk persamaan garis $4x+3y=400$ maka $y=\frac{400-4x}{3}$

$\begin{tabular} {|r|c|c|}\hline x&0&100\\\hline y&133,3&0\\\hline (x,y)&(0,133,3)&(100,0)\\\hline\end{tabular}$

untuk persaman $x+y=125$ maka $y=125-x$

$\begin{tabular} {|r|c|c|}\hline x&0&125\\\hline y&125&0\\\hline (x,y)&(0,125)&(125,0)\\\hline\end{tabular}$

Selanjutnya buatlah titik uji, misalkan saja titik (0,0), kemudian kita substitusikan ke pertidaksamaan $4x+3y\leq 400$ maupun $x+y\leq 125$ . Kalau hasilnya memenuhi maka daerah titik (0,0) termasuk penyelesaian.

Silahkan kamu memasukkan titik uji yang lain

Dan akhirnya kita akan mendapatkan gambar grafik diagram kartesius sebagai berikut:

Sumber Refernsi

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Sekian untuk postingan kali ini semoga iilmu yang saya bagikan bermanfaat bagi semua

Halo semua,kali ini saya akan membagikan materi matematika kelas 10,silahkan di simak

Bab 1 eksponen dan logaritma

1. Fungsi Eksponen

Bentuk aⁿ disebuat sebagai bentuk eksponensial atau perpangkatan, dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat. Sifat – sifat yang berlaku dalam bilangan berpangkat rasional diantaranya adalah sebagai berikut :

Perhatikan contoh soal berikut :

Hitunglah hasil perpangkatan (0,008)⋅²

jawab :

(0,008)⋅² = (1/125)⋅²

= (1/5³)⋅²

= (5⋅³)⋅²

= 5^6 = 15.625

2. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang pangkatnya (eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel.

Bentuk-bentuk persamaan eksponen yang akan kita bahas yaitu

a. Bentuk persamaan a^f(x)=1

Misal terdapat persamaan a^f(x)=1 dengan a>0 dan a≠1, untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan tersebut gunakan sifat bahwa :

a^f(x) = 1 ⇔f(x)=0

b. Bentuk persamaan a^f(x) = a^p

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^p, dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen diatas ditentukan dengan cara menyamakan pangkat ruas kiri dengan ruas kanan.

a^f(x)= a^p ⇔ f(x) = p

c. Bentuk persamaan a^f(x) = a^g(x)

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^g(x) dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian persamaan diatas dapat ditentukan dengan cara menyamakan persamaan pangkatnya. Jadi dapat kita katakan sebagai berikut :

a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

d. Bentuk Persamaan a^f(x) = b^f(x)

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = b^f(x), dengan a≠b ;a,b >0 ; a,b ≠1. Himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut dapat ditentukan dengan cara menyamakan f(x0 dengan nol. Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut :

a^f(x) = b^f(x) ⇔ f(x) = 0

e. Bentuk persamaan a^f(x) = b^g(x)

Misalkan diberikan persamaan a^f(x) = b^g(x) dengan a≤b ; a,b >0 ; a,b ≠1, dan f(x) ≠ g(x). Himpunan penyelesaian untuk bentuk persamaan eksponen tersebut dengan melogaritmakan kedua ruas, yaitu :

log a^f(x) = log b^g(x)

f. Bentuk Persamaan A{a^f(x)}² + B{a^f(x)}+ C = 0

Untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponen yang berbentuk persamaan kuadrat dapat dikerjakan dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc.

g. Bntuk persamaan f(x)^g(x) =1 ; f(x)≠g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen dengan bentuk tersebut, lakukanlah langkah-langkah berikut :

1). g(x)=0 karena ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol.

2). f(x)=1 karena jika f(x)=1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapapun nilainya 1.

3). f(x)=-1, dengan syarat g(x) harus genap.

h. Bentuk persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Untuk nilai g(x) ≠ h(x). Himpunan penyelesaian bentuk eksponen tersebut diperoleh dari empat kemungkinan berikut :

1). g(x)=h(x0 karena bilangan pokok sudah sama maka pangkatnya harus sama.

2). f(x)=1 karena g9x) ≠ h(x) maka bilangan pokok harus bernilai 1 (satu) agar persamaan bernilai benar.

3). f(x)=-1, bewrakibat g(x) dan h(x) harus sama-sama bernilai genap atau sama-sama bernilai ganjil.

4). f(x)=0, dengan g(x) dan h(x) masing-masing bernilai positif dituliskan g(x)>0 atau h(x)>0.

i. Bnetuk persamaan g(x)^f(x) = h(x)^f(x)

persamaan diatas akan bernilai benar jika

a. f(x)=0 untuk g(x)≠0 dan h(x)≠0 ;

b. g(x)=h(x)

3. Fungsi Logaritma

Bentuk eksponen atau perpangkatan dapat kita tulis dalam bentuk logaritma. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

Jika a^b = c dengan a > 0 dan a ≠ 1 maka ^alog c = b dalam hal ini a disebut basis atau pokok logaritma dan c merupakan bilangan yang dilogaritmakan. Logaritma memuliki sifat-sifat sebagai berikut :

3.1 Bentuk umum dari fungsi logaritma yaitu Jika a^y= x dengan a ≥0 dan a ≠ 1 maka y =^alog x

mempunyai sifat-sifat :

semua x > 0 terdefinisi
jika x mendekati no maka nilai y besar sekali dan positif
untuk x=1 maka y=o
untuk x > 1 maka y negatif sehingga jika nilai x semakin besar maka nilai y semakin kecil.

3.2. Grafik Fungsi y =^alog x untuk a >0

mempunyai sifat – sifat sebagai berikut :

untuk semua x > 0 terdefinisi
jika x mendekati no maka y kecil sekali dan negatif
untuk x=1 maka y=0
untuk x > 1 maka y positif sehingga jika x semakin besar maka y semakin besar.

Berikut ini gambar grafiknya :

Itulah penjelasan tentang eksponen dan logaritma semoga bermanfaat bagi semua yang melihat blog saya terimah kasih

Materi matematika kelas X

Minggu, 21 Agustus 2016

Persamaan dan pertidaksamaan linier kelas X

Eksponen dan logaritma